AMC10 面向 10 年级及以下、AMC12 面向 12 年级及以下，都是 25 题 75 分钟，满分 150，晋级 AIME 的 cutoff 通常在 100 分上下浮动。数论约占 AMC 题量的 1/5，是「不需要超纲公式、靠逻辑严密」的板块，也是中国学生相对占优的部分。下面把数论拆成三块逐个击破。

一、整除、质数与最大公约数

整除特征（2/3/5/9/11 的判别法）、唯一分解定理、gcd/lcm 关系是基础。质数筛选、质因数分解在求因数个数、因数和时直接套公式：n=p₁^a·p₂^b，因数个数=(a+1)(b+1)。真题常把「整除 + 余数」结合，比如「被 3 和 5 除都余 2 的最小正整数」，用中国剩余的思想一步步收敛。

提分关键：余数问题一律先转成同余式 a≡b (mod m)，再谈运算，避免用自然语言绕晕自己。

二、模运算与费马小定理

模运算的加减乘都可在模下先做再取余，这是大数计算的救命稻草。AMC12 常考费马小定理：若 p 为质数且 p∤a，则 a^(p-1)≡1 (mod p)，用来求 2^100 mod 7 这类题。配合欧拉定理、阶与周期，能把「天文数字取模」压成小计算。周期性的「末位数字」题也是高频，本质是找 a^n mod 10 的周期。

三、丢番图方程

丢番图方程（整数解的不定方程）是 AMC 数论的难点，常见 ax+by=c 型用扩展欧几里得或奇偶/整除分析求解。真题爱考「求满足条件的整数解个数」「正整数解」，核心是先求一组特解再用通解公式，再用范围卡边界。这类题难在「限制条件翻译」，平时练就训练把「x、y 为正整数」立刻写成不等式。

数论板块靠「定理记忆 + 同余直觉」取胜。建议把整除判别、费马小定理、丢番图通解三个抓手各刷 15 道真题，限时训练把单题控制在 2 分钟内，晋级 AIME 才稳。

常见问题 FAQ

Q1：AMC10 和 12 的数论难度差在哪？
A：12 会加入费马小定理、欧拉定理、更复杂的同余，10 侧重整除与基础丢番图。

Q2：同余运算能不能先算再取模？
A：加减乘都可以，但除法不行，必须乘逆元或先约分再处理。

Q3：丢番图方程没有思路怎么办？
A：先试奇偶性、模小质数缩小范围，再用通解公式卡正整数边界。

Q4：犀牛 AMC 辅导怎么排课？
A：先测评定位代数/几何/数论/组合的强弱，再按 AMC10 或 12 分班，3–8 人小班或一对一带练真题。

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