AMC10/12 都是 25 题 75 分钟、满分 150，晋级 AIME 的 cutoff 约 100 分上下。概率与组合（counting & probability）合计约占题量 1/4，是中国学生「会做但易错」的板块——题目短、坑多，一步想歪整题白给。下面把高频三类拆开讲。

一、排列组合基础

先分清「有序还是无序」：排列 P(n,k) 管顺序、组合 C(n,k) 不管顺序。乘法原理（分步相乘）和加法原理（分类相加）是地基。进阶考「有重复的排列」n!/(重复!)、「隔板法」分相同物品、以及「容斥原理」——至少/至多问题用容斥最稳：|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|。真题常把「选人组队 + 限制条件」揉在一起，先算总数再减不符合的，往往比正面分类快。

提分关键：遇到「相邻/不相邻」先想捆绑法和插空法；遇到「至少一人」立刻转「1−全不满足」的补集思路。

二、条件概率与独立

条件概率 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，核心是「在 B 已发生的前提下」。独立事件才满足 P(A∩B)=P(A)P(B)，别把相关当独立。AMC 常考「抽球不放回」——每次概率随样本空间变，务必更新分母。贝叶斯思想（由结果反推原因）在 12 里偶尔出现，记住「先验×似然」的直觉即可，不必硬套公式。

三、期望与递推

数学期望 E 的线性性质是利器：E(X+Y)=E(X)+E(Y)，即使不独立也成立，所以「总期望 = 各部分期望相加」。AMC 爱考掷骰、抽卡、随机游走，多用「设 E 列方程」的递推法：比如「平均掷几次才出第一个 6」，设 E=1+(5/6)E 解得 E=6。这类题难在「敢设未知数列方程」，平时多练 10 道递推期望，考试就不慌。

概率组合靠「模型识别 + 补集思维」取胜。建议把排列组合、条件概率、期望三块各刷 15 道真题，限时训练把单题控制在 2 分钟内，晋级 AIME 才稳。犀牛 AMC 班用 5 大闭环先测强弱，再按 AMC10/12 分班带练真题、全程答疑。

常见问题 FAQ

Q1：AMC10 和 12 的概率难度差在哪？
A：12 会加入更复杂的递推期望和贝叶斯，10 侧重基础排列组合与条件概率。

Q2：容斥原理什么时候用？
A：求「至少一个 / 至少满足其一」时优先容斥，比正面分类不容易漏。

Q3：期望一定要列方程吗？
A：随机游走、抽卡类多用递推设 E 列方程，线性性质能直接加的就不必。

Q4：犀牛 AMC 辅导怎么带？
A：先测评定位代数/几何/数论/组合强弱，按 AMC10 或 12 分班，3–8 人小班或一对一带练真题。

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