AMC10/12里有一类题年年出现却容易被忽视——不等式与最值。它不像函数、几何那样"显眼"，却是压轴题的稳定来源，也是区分前5%和前1%的分水岭。很多学生代数运算很强，一遇到"求最大最小值"就卡壳，问题往往出在没掌握这几件武器。本文把它们一次讲清。

一、均值不等式（AM-GM）的高频用法

对非负实数a、b，有(a+b)/2 ≥ √(ab)，推广到n项即算术平均不小于几何平均。AMC最常考两类：固定和求积最大（如矩形周长固定求最大面积）、固定积求和最小（如x+1/x ≥ 2）。进阶题会用加权AM-GM处理三项以上的复杂约束。

破题信号：题干出现"最大值/最小值"，且变量为正、带和或积的约束，先想AM-GM，往往一步到位。

二、柯西不等式与放缩

柯西不等式（∑a_i²)(∑b_i²) ≥ (∑a_i b_i)²，常用于向量模长、平方和、分式求和的估计。放缩法（夹逼）则用于证明型与取整型题，配合整数约束找边界。在AMC12里，柯西出现的频率明显高于AMC10，是12冲高分的必修课。

实战要点：柯西公式好记，难在识别题型——看到平方和的乘积、或分式连加，就要联想到它。

三、其他最值工具与训练

还有三角不等式(|a|+|b| ≥ |a±b|)、二次函数顶点法、基本不等式链，以及"配对/对称取等"思想。大量最值题的答案恰好出现在取等条件处，所以一定要检验等号能否成立。训练上，把近10年AMC10/12里带"maximum/minimum"的题集中刷一遍，手感就出来了。

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四、常见问题FAQ

Q1：AM-GM什么时候用？ 变量为正，且有和/积约束求最值，优先考虑。

Q2：柯西很难掌握吗？ 公式本身好记，难点在识别适用场景，多刷真题即可突破。

Q3：AMC10考不等式多吗？ 有但偏浅，AMC12会更深、更综合。

Q4：这些对AIME有用吗？ 非常有用，AIME的不等式题更加综合，是基础储备。

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