AMC10/12 代数部分最大的一块就是多项式。韦达定理、余数定理、因式定理、对称多项式，这些在 10 年级阶段学校讲得浅，竞赛却考得深。本文把多项式这块的常考题型和实战技巧理一遍，帮你在 75 分钟里稳稳拿到这部分分数。

一、韦达定理与根的关系

对于 n 次方程 aₙxⁿ+…+a₀=0，根为 r₁…rₙ，则 r₁+…+rₙ=−aₙ₋₁/aₙ，两两乘积和=aₙ₋₂/aₙ，连乘积=(−1)ⁿa₀/aₙ。AMC 真题常考「已知两根之和、两根之积，求某对称式的值」，比如求 1/r₁+1/r₂，直接化成 (r₁+r₂)/(r₁r₂) 代入即可，不用解方程。

常考变形：给一个三次方程，问「根的平方和」「根的立方和」，用牛顿恒等式或先配方：r₁²+r₂²+r₃²=(Σr)²−2Σrᵢrⱼ。这类题几乎年年有，模板固定，练熟就能秒。

二、余数定理、因式定理与因式分解

余数定理：多项式 f(x) 除以 (x−a) 的余数等于 f(a)。因式定理是特例：若 f(a)=0，则 (x−a) 是它的因式。真题里常给 f(x) 被若干一次式整除的条件，让你求系数，直接代入根令其为 0 解方程组即可。

进阶技巧：多项式长除法、综合除法要会；遇到「f(x) 除以 (x−a)(x−b) 余式为一次式」的题，设余式 px+q，用 f(a)=pa+q、f(b)=pb+q 解出。这是 AMC12 高频压轴套路之一。

三、常见问题 FAQ

Q1：多项式题在 AMC 里占多少？ 代数约占 1/3，多项式又是代数核心，10/12 里通常 3-5 题涉及，分值可观。

Q2：学校没学复数会影响吗？ AMC12 会考复数根（如单位根），但多项式基础部分用实数就够，复数可单独补。

Q3：怎么判断一道题该用韦达还是直接解？ 看到「根的关系」「对称式」优先考虑韦达；看到「整除」「余数」优先考虑因式、余数定理。

Q4：需要背完所有公式吗？ 重点记韦达、余数、因式、平方差/立方和，其余靠现场推导。

四、犀牛国际教育课程与联系方式

多项式和代数恒等式是 AMC10/12 冲奖的硬骨头。犀牛国际教育采用「测评—讲解—练习—考察—全程答疑」五步教学闭环，师资来自剑桥、帝国理工、伦敦大学学院、清华等院校，平均教龄 5-10 年，全国 40+ 校区（上海、北京、深圳、广州、苏州、杭州、香港等）及新加坡、美国站点，每年服务学员 20000+ 人次。课程覆盖 AMC、A-Level、IGCSE、IB、AP、DSE 及 BPhO、物理碗、UKChO、BBO、USABO 等主流竞赛辅导，往届学员拿下 AMC 金牌、物理碗全国金奖、UKChO 金奖、A-Level A*、AP 5 分、IB 7 分等出分。

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