到了 AMC10/12，数论从“整除、质因数”这类入门题，跃升到需要用定理系统性解题的层面。费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理（CRT）是三把利器，尤其在处理大指数取模、同余方程组、阶乘与逆元时几乎是标配。掌握它们，能把原本要硬算的题压缩成几步代换。

一、欧拉定理与费马小定理的分工

费马小定理是欧拉定理的特例：当 p 为质数且 a 不被 p 整除时，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。欧拉定理把指数从 p-1 推广到 φ(n)——即小于 n 且与 n 互质的整数个数。求 a^k mod n 时，先把指数 k 对 φ(n) 取模再算，指数瞬间变小。真题里“求 7^2024 的末三位”这类题，本质就是 mod 1000 套欧拉降幂。

要点：用欧拉定理前先确认 gcd(a, n)=1；若不然要拆模数或换思路，否则直接降幂会出错。

二、中国剩余定理解同余方程组

当题目给出“除以 3 余 2、除以 5 余 3、除以 7 余 2”这类条件时，CRT 给出唯一解（模各模数乘积）。实操有手算技巧：先两两合并，或用“凑数法”找特解再加最小公倍数。AMC12 近年常在组合数论里埋这类题，比如求满足多个同余条件的最小正整数。

三、阶乘、威尔逊与综合演练

阶乘取模离不开威尔逊定理（(p-1)! ≡ -1 mod p）和“p 为质数时 p! 中含 p 的幂次”。把这几样和容斥、质因数分解组合，就能啃下压轴数论题。犀牛 AMC12 高阶班按“模运算→定理套用→综合压轴”三阶段推进，配历年真题精讲和每周模考，帮孩子把数论从短板练成冲奖模块。

常见问题解答（FAQ）

问：欧拉定理和费马小定理有什么区别？

答：费马小定理只适用于模数为质数的情形，欧拉定理用 φ(n) 推广到任意与底数互质的 n，适用范围更广。

问：中国剩余定理考试会直接考吗？

答：不会让默写定理，但“多条件同余求最小解”的题本质上就是 CRT，掌握手算合并法即可。

问：数论在 AMC10 和 AMC12 占比差很多吗？

答：AMC12 数论明显更深，会用到欧拉、CRT、阶乘性质；AMC10 以整除、同余基础为主，但高阶技巧也能提速。

问：这类题适合什么时候开始学？

答：建议在 AMC10 中后期或 AMC12 阶段切入，前提是整除与模运算基础已经牢固，否则先补入门。

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