进制与数位是 AMC10/12 数论里一道“看似冷门、实则常驻”的风景线。从二进制、十六进制的换算，到数字和、数字根，再到用取模玩转尾数判定，这类题不靠深奥定理，而考“对数字结构的敏感度”。掌握几套固定套路，相关题基本能秒解。

一、进制转换的本质

所谓 n 进制，就是把一个数写成 aₖnᵏ + aₖ₋₁nᵏ⁻¹ + … + a₀ 的形式。十进制转二进制用“不断除以 2 取余数”，二进制转十进制则按位加权求和。AMC 常给一个二进制或十六进制数，让你换算后做比较或求和。

提分技巧：熟记 2 的幂（1,2,4,8,16,32,64,128,256…），把二进制数按“哪几位是 1”直接拼出十进制，比逐位算快得多。

二、数字和与数字根

一个数各位数字之和叫数字和；不断求数字和直到只剩一位，就是数字根。一个关键结论是：数字根 ≡ 原数 (mod 9)，也就是说数字根和原数除以 9 同余。这个结论能瞬间解开一大批“求各位和”“判断整除 9”的题。

经典应用：判断一个大数能否被 9 整除，只需求它的数字根；若数字根为 9，则原数能被 9 整除。AMC 喜欢用这个制造“看起来算不完”的陷阱。

三、取模与尾数判定

问“末位数字是几”，本质是求原数 mod 10；问“能否被某数整除”，本质是 mod 对应除数。幂次的尾数有周期（如 2 的幂尾数以 2,4,8,6 循环），抓住周期就能不计算而直接报尾数。

训练节奏：每周精做 3–4 道进制与数字根真题，重点练“一眼识别 mod 关系”，这是从会做到做快的关键。

进制与数位题骨架很简单：换基、求数字和、取模判定。把 2 的幂、数字根同余、尾数周期三件套记牢，AMC10/12 的这一小块就能稳定拿下。

常见问题 FAQ

Q1：AMC10/12 大概考几道进制题？通常 1–2 道，分布在中段（第 10–18 题），属于“会就送分、不会就卡住”的类型。

Q2：数字根一定要反复相加吗？不必。直接求原数 mod 9 即可，结果为 0 时数字根是 9（非零情况），更快。

Q3：二进制转十进制有速算吗？有。把“为 1 的位”对应的 2 的幂相加即可，熟练后心算完成。

Q4：尾数周期怎么找？列出前几项取 mod 10 的结果，出现重复的起始段即一个周期，之后循环。

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