在AMC10和AMC12的几何题里，有一批“硬骨头”用初中几何的勾股和相似很难啃，但一旦搬出几个经典定理，立刻迎刃而解。托勒密定理、斯蒂瓦尔特定理、费马点就是这类“降维武器”。犀牛国际教育的AMC10/12几何专题，通常把它们放在冲刺前5%的模块，用来解决圆内接四边形、三角形中线以及最短路径类问题。

一、托勒密定理：圆内接四边形的边长密码

托勒密定理说的是：圆内接四边形两条对角线乘积，等于两组对边乘积之和，即AC乘BD等于AB乘CD加上BC乘DA。它最直接的应用是求圆内接四边形中某条未知对角线长度，也能反过来判定四点是否共圆。在AMC12里，常把正五边形、正十边形塞进圆里，用托勒密推出黄金比例相关的边长比，这类题如果现推会很慢，记住定理一秒出结果。

要点提醒：看到“圆内接四边形”先想托勒密；看到正多边形内接于圆，优先考虑用它求对角线与边长的关系。

二、斯蒂瓦尔特定理与费马点

斯蒂瓦尔特定理解决的是“已知三角形三边和一条从顶点到对边的线段（如中线、角平分线、高），求这条线段长度”的问题，公式是b²m加c²n等于a(d²加mn)。中线、角平分线长度都能用它统一推导。费马点则处理“三角形内找一点，使到三个顶点距离之和最小”，当三角形每个角都小于120度时，该点与三顶点连线两两成120度。AMC10/12常把费马点包装成“建仓库、修基站”的最短路模型。

要点提醒：中线、角平分线长度别死记特例公式，记斯蒂瓦尔特一次通吃；费马点题先判断有没有角超过120度，超过则最优点就是那个钝角顶点。

三、常见问题 FAQ

Q1：这些定理AMC10会考吗，还是只属于AMC12？

A1：托勒密在AMC10中后段偶尔出现，斯蒂瓦尔特和费马点更常出现在AMC12；但早接触能显著拓宽几何工具箱，冲前5%都用得上。

Q2：定理要背证明还是直接用？

A2：竞赛默认你“会用”，不要求现场证；但犀牛老师建议至少搞懂托勒密和斯蒂瓦尔特的推导，考场上才敢放心套。

Q3：费马点总忘了120度条件怎么办？

A3：画个草图辅助判断，记住“全锐角才是内部120度点，有钝角就退化到钝角顶点”，用极端情形检验即可。

Q4：这些定理对晋级AIME帮助大吗？

A4：很大。AIME几何题几乎必用高级定理，托勒密和斯蒂瓦尔特更是常客，是AMC向AIME跃迁的必备储备。

经典几何定理的价值，在于把繁琐的辅助线推理压缩成一步公式调用。把它们练成“看到图形就能匹配定理”的直觉，AMC10/12的几何压轴就不再可怕。

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