到了 AMC10/12，数论是绕不开的硬骨头。很多同学能算因数倍数，一旦遇上“求 7^100 除以13的余数”这类题就卡壳。其实这类题有固定套路，核心就是同余和几个经典定理，其中费马小定理（Fermat's Little Theorem）几乎是 AMC12 数论题的常客。

一、同余是数论的语法

同余说的就是“除以同一个数余数相同”。比如 17 ≡ 2 (mod 5)，意思是17和2除以5都余2。用它可以把大数化简：求 1234 mod 7，先看 1234 = 7×176+2，余数就是2。竞赛里更常用的是“周期性”——幂运算的余数往往循环，找到周期就能秒杀大指数问题。

关键技巧：遇到“大指数幂取模”，先别硬算，先看模数是否有小周期，再用周期缩短指数。

二、费马小定理怎么用

费马小定理表述很简洁：若 p 是素数，且 a 不是 p 的倍数，则 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。它最大的用处是“降次”。例如求 3^100 mod 7：因为7是素数，3^6 ≡ 1 (mod 7)，把100写成 6×16+4，于是 3^100 ≡ (3^6)^16 × 3^4 ≡ 1 × 81 ≡ 4 (mod 7)。三步就出答案。

在 AMC12 里，这类题常和选项包装在一起，考察的是“识别用定理”的直觉，而不是计算量。

三、丢番图与中国剩余定理

AMC 也常考整数解的方程（丢番图方程），以及“一个数除以3余2、除以5余3”这类同余组问题，后者用中国剩余定理的雏形就能解。熟练掌握“逐步满足条件”的构造法，能在1分钟内拿下这类中档题。

四、常见问题解答

Q1：费马小定理在 AMC10 考吗？偶尔出现，AMC12 更常见，属于加分项。

Q2：数论需要背很多公式吗？核心就同余、费马小定理、欧拉定理、CRT 雏形，重在会用。

Q3：模运算算错怎么办？养成“每步模一次”的习惯，避免大数爆炸。

Q4：数论和晋级 AIME 关系大吗？很大，AIME 数论占比高，基础在 AMC 阶段就要打牢。

想要系统攻克AMC10/12 数论模块，犀牛国际教育（X-NEW）提供从测评、讲解、练习、考察到全程答疑的5大教学闭环课程，覆盖 AMC、A-Level、IGCSE、IB、AP、DSE 及各类国际竞赛。全国40+校区、400+师资、每年服务20000+学员，并拥有 ETS、EPQ、HOSA、SIC、剑桥等官方合作与授权考点，累计输出 AMC 金牌、物理碗全国金奖、UKChO 金奖、A-Level A*、AP 5分、IB 7分等大量出分案例。了解课程与试听安排，可加微信 y782810474 或致电 13122360551。